Google
Câu hỏi: Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ và đường thẳng $y=2-x$ (như hình vẽ bên). Biết diện tích của hình $\left( H \right)$ là $S=a\pi +b$, với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $P=6$.
B. $P=9$.
C. $P=16$.
D. $S=10$.
A. $P=6$.
B. $P=9$.
C. $P=16$.
D. $S=10$.
+ Cách 1 :
Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là : $S=\int\limits_{0}^{2}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-2+x \right) \text{d}x}$.
Đặt $x=2\sin t$ $\Rightarrow \text{d}x=2\cos t\text{d}t$.
$\Rightarrow S=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 2\cos t-2+2\sin t \right) 2\cos t\text{d}t}$ $=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 4{{\cos }^{2}}t-4\cos t+4\sin t\cos t \right) \text{d}t}$
$=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 2+2\cos 2t-4\cos t+2\sin 2t \right) \text{d}t}$ $=\left. \left( 2t+\sin 2t-4\sin t-\cos 2t \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}$ $=\pi -2$.
$\Rightarrow a=1$, $b=-2$ $\Rightarrow P=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+4$ $=6$.
+ Cách 2 :
Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là : $S=\dfrac{1}{4}\pi {{.2}^{2}}-\dfrac{1}{2}2.2$ $=\pi -2$.
$\Rightarrow a=1$, $b=-2$ $\Rightarrow P=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+4$ $=6$.
Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là : $S=\int\limits_{0}^{2}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-2+x \right) \text{d}x}$.
Đặt $x=2\sin t$ $\Rightarrow \text{d}x=2\cos t\text{d}t$.
$\Rightarrow S=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 2\cos t-2+2\sin t \right) 2\cos t\text{d}t}$ $=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 4{{\cos }^{2}}t-4\cos t+4\sin t\cos t \right) \text{d}t}$
$=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 2+2\cos 2t-4\cos t+2\sin 2t \right) \text{d}t}$ $=\left. \left( 2t+\sin 2t-4\sin t-\cos 2t \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}$ $=\pi -2$.
$\Rightarrow a=1$, $b=-2$ $\Rightarrow P=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+4$ $=6$.
+ Cách 2 :
Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là : $S=\dfrac{1}{4}\pi {{.2}^{2}}-\dfrac{1}{2}2.2$ $=\pi -2$.
$\Rightarrow a=1$, $b=-2$ $\Rightarrow P=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+4$ $=6$.
Đáp án A.