Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$ cạnh bên bằng $b$. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng
A. $\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
B. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
C. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
D. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.$
Xét lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$. Gọi $E, E'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, A'B'C'$, $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là trung điểm $EE'$. Do hình lăng trụ đều nên $EE'$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC, A'B'C'$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, $IA$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
$AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}, IE=\dfrac{b}{2}$ $\Rightarrow R=IA=\sqrt{A{{E}^{2}}+I{{E}^{2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}.$
Thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$ $=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} \right)}^{3}}$ $=\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.$
A. $\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
B. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
C. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
D. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.$
Xét lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$. Gọi $E, E'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC, A'B'C'$, $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là trung điểm $EE'$. Do hình lăng trụ đều nên $EE'$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC, A'B'C'$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, $IA$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
$AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}, IE=\dfrac{b}{2}$ $\Rightarrow R=IA=\sqrt{A{{E}^{2}}+I{{E}^{2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}.$
Thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$ $=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} \right)}^{3}}$ $=\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.$
Đáp án D.