Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Thể tích của khối cầu đi qua
các đỉnh của lăng trụ bằng
A. $V=\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
B. $V=\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
C. $V=\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
D. $V=\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $A'B'C'$. Khi đó tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm đoạn $O'O$.
Ta có $AO=\dfrac{2}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $OI=\dfrac{b}{2}$, $R=AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}$.
Thể tích $V=\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
các đỉnh của lăng trụ bằng
A. $V=\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
B. $V=\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
C. $V=\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
D. $V=\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
Ta có $AO=\dfrac{2}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $OI=\dfrac{b}{2}$, $R=AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}$.
Thể tích $V=\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
Đáp án B.