Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.DEF$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Xét (T) là hình trụ nội tiếp lăng trụ. Gọi M là tâm của mặt bên BCFE, mặt phẳng chứa AM và song song với BC cắt (T) như hình vẽ bên dưới.
Thể tích phần còn lại (như hình trên) của khối (T) bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{54}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{27}$.
D. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{54}$.
Dễ thấy $DH=HI=IN=\dfrac{1}{3}DN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AD+I{I}'=2HK \\
& HK+MN=2I{I}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AD+I{I}'=2HK \\
& 2HK+2MN=4I{I}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD+2MN=3I{I}'\Rightarrow I{I}'=\dfrac{2a}{3}$.
Thể tích phần còn lại của khối (T) là $V=I{I}'.{{S}_{day}}=\dfrac{2a}{3}.\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{54}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{27}$.
D. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{54}$.
Dễ thấy $DH=HI=IN=\dfrac{1}{3}DN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AD+I{I}'=2HK \\
& HK+MN=2I{I}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AD+I{I}'=2HK \\
& 2HK+2MN=4I{I}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD+2MN=3I{I}'\Rightarrow I{I}'=\dfrac{2a}{3}$.
Thể tích phần còn lại của khối (T) là $V=I{I}'.{{S}_{day}}=\dfrac{2a}{3}.\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}$.
Đáp án A.