Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B' và vuông góc A'C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối lần lượt là V1, V2 với V1 < V2. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ gần giá trị nào sau đây nhất?
A. 0,045
B. 0,03
C. 0,21
D. 0,16
Gọi M là trung điểm A'C'
Ta có $B'M\bot (ACC'A')\Rightarrow B'M\bot A'C$
Suy ra $M\in (P)$. Kẻ $MN\bot A'C(N\in AA')$
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và lăng trụ là tam giác B'MN
Hai tam giác A'C'C và NA'M đồng dạng
$\Rightarrow A'N=\dfrac{A'M}{2}=\dfrac{a}{4}$
Thể tích tứ diện A'B'MN là
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}A'N.{{S}_{\Delta A'B'M}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}$
Thể tích lăng trụ là $V=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$
Vậy ${{V}_{1}}:{{V}_{2}}=1:47$
Thể tích tứ diện có diện tích đáy S, chiều cao h là: $V=\dfrac{1}{3}S.h$
Thể tích lăng trụ có diện tích đáy S, chiều cao h là: $V=S.h$
A. 0,045
B. 0,03
C. 0,21
D. 0,16
Gọi M là trung điểm A'C'
Ta có $B'M\bot (ACC'A')\Rightarrow B'M\bot A'C$
Suy ra $M\in (P)$. Kẻ $MN\bot A'C(N\in AA')$
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và lăng trụ là tam giác B'MN
Hai tam giác A'C'C và NA'M đồng dạng
$\Rightarrow A'N=\dfrac{A'M}{2}=\dfrac{a}{4}$
Thể tích tứ diện A'B'MN là
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}A'N.{{S}_{\Delta A'B'M}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}$
Thể tích lăng trụ là $V=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$
Vậy ${{V}_{1}}:{{V}_{2}}=1:47$
Note 32: Phương pháp chung
$\Delta A'B'C'$ đều có M là trung điểm A'C' nên BM đồng thời là đường cao của $\Delta A'B'C'$. Thể tích tứ diện có diện tích đáy S, chiều cao h là: $V=\dfrac{1}{3}S.h$
Thể tích lăng trụ có diện tích đáy S, chiều cao h là: $V=S.h$
Đáp án B.