Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=2$ ; ${A}'A={A}'B={A}'C=3$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên hai cạnh ${A}'A$ và ${A}'B$ lấy các điểm P và Q tương ứng sao cho ${A}'P=1$, ${A}'Q=2$.Tỉ số $\dfrac{{{V}_{PQMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}$ bằng:
A. $\dfrac{1}{36}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{1}{24}$.
D. $\dfrac{1}{48}$.
Gọi E là giao điểm của PQ và AB.
Ta có ${{S}_{\Delta EMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ ;
${{V}_{PQMN}}={{V}_{PEMN}}-{{V}_{QEMN}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{PQMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{{{V}_{PEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}-\dfrac{{{V}_{QEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}$
$\dfrac{{{V}_{PEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( P,\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta EMN}}}{d\left( {A}',\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{PA}{{A}'A}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{18}$.
$\dfrac{{{V}_{QEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( Q,\left( ABC \right) \right).{{S}_{EMN}}}{d\left( {A}',\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{QB}{{A}'B}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{36}$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{PQMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{36}$.
A. $\dfrac{1}{36}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{1}{24}$.
D. $\dfrac{1}{48}$.
Ta có ${{S}_{\Delta EMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ ;
${{V}_{PQMN}}={{V}_{PEMN}}-{{V}_{QEMN}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{PQMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{{{V}_{PEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}-\dfrac{{{V}_{QEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}$
$\dfrac{{{V}_{PEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( P,\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta EMN}}}{d\left( {A}',\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{PA}{{A}'A}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{18}$.
$\dfrac{{{V}_{QEMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( Q,\left( ABC \right) \right).{{S}_{EMN}}}{d\left( {A}',\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{QB}{{A}'B}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{36}$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{PQMN}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{36}$.
Đáp án A.