Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Góc $\widehat{ACB}=30{}^\circ $, biết góc giữa ${B}'C$ và mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ bằng $\varphi $, biết $\sin \varphi =\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'B$ và $C{C}'$ bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ theo $a$
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{6}$
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Do ${B}'{A}'$ vuông góc với mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ tại ${A}'$ nên góc giữa ${B}'C$ và $\left( AC{C}'{A}' \right)$ là: $\varphi =\widehat{{B}'C{A}'}$
Do $C{C}'$ song song với mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ chứa ${A}'B$
Do đó ta có:
$d\left( C{C}';{A}'B \right)=d\left( C{C}';\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=d\left( {C}';\left( AB{B}'{A}' \right) \right)={C}'{A}'=a\sqrt{3}$ (do ${C}'{A}'$ vuông góc với $\left( AB{B}'{A}' \right)$ )
Xét tam giác vuông ${A}'{B}'{C}'$ có: ${A}'{B}'={A}'{C}'.\tan 30{}^\circ =a$ $\Rightarrow {B}'{C}'=\sqrt{{A}'{{{{B}'}}^{2}}+{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=2a$
Xét tam giác vuông ${A}'{B}'C$ có: $\sin \varphi =\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$
${B}'C=\dfrac{{A}'{B}'}{\sin \varphi }=2a\sqrt{5}$
Xét tam giác vuông ${C}'{B}'C$ có: $C{C}'=\sqrt{{B}'{{C}^{2}}-{B}'{{{{C}'}}^{2}}}=4a$
Thể tích cần tìm là: $V={{S}_{\Delta ABC}}.C{C}'=\dfrac{1}{2}AB.AC.C{C}'=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{6}$
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Do ${B}'{A}'$ vuông góc với mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ tại ${A}'$ nên góc giữa ${B}'C$ và $\left( AC{C}'{A}' \right)$ là: $\varphi =\widehat{{B}'C{A}'}$
Do $C{C}'$ song song với mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ chứa ${A}'B$
Do đó ta có:
$d\left( C{C}';{A}'B \right)=d\left( C{C}';\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=d\left( {C}';\left( AB{B}'{A}' \right) \right)={C}'{A}'=a\sqrt{3}$ (do ${C}'{A}'$ vuông góc với $\left( AB{B}'{A}' \right)$ )
Xét tam giác vuông ${A}'{B}'{C}'$ có: ${A}'{B}'={A}'{C}'.\tan 30{}^\circ =a$ $\Rightarrow {B}'{C}'=\sqrt{{A}'{{{{B}'}}^{2}}+{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=2a$
Xét tam giác vuông ${A}'{B}'C$ có: $\sin \varphi =\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$
${B}'C=\dfrac{{A}'{B}'}{\sin \varphi }=2a\sqrt{5}$
Xét tam giác vuông ${C}'{B}'C$ có: $C{C}'=\sqrt{{B}'{{C}^{2}}-{B}'{{{{C}'}}^{2}}}=4a$
Thể tích cần tìm là: $V={{S}_{\Delta ABC}}.C{C}'=\dfrac{1}{2}AB.AC.C{C}'=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Đáp án D.