Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $A{A}'=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C{C}'$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{57}a}{19}$.
D. $\dfrac{\sqrt{57}a}{19}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $BC$ và ${A}'H$.
Ta có $d\left( M,\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {C}',\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}AK$.
Mà $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $A{A}'=2a$ nên $AK=\dfrac{AH.A{A}'}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Vậy $d\left( M;\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{57}a}{19}$.
D. $\dfrac{\sqrt{57}a}{19}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $BC$ và ${A}'H$.
Mà $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $A{A}'=2a$ nên $AK=\dfrac{AH.A{A}'}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Vậy $d\left( M;\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$.
Đáp án D.