Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AC=a,BC=2a$, $\widehat{ACB}=120{}^\circ $. Góc giữa đường thẳng $A{C}'$ và mặt phẳng $\left( A{A}'{B}'B \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{14}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{104}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{4}$.
Kẻ ${C}'K\bot {A}'{B}'$. Vì $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đứng nên ${C}'K\bot A{A}'$. Do đó ${C}'K\bot \left( A{A}'{B}'B \right)$.
$\Rightarrow $ $\left( A{C}',\left( A{A}'{B}'B \right) \right)=\left( A{C}',AK \right)=\widehat{{C}'AK}\Rightarrow \widehat{{C}'AK}=30{}^\circ $ (tam giác ${C}'AK$ vuông tại $K$ nên góc $\widehat{{C}'AK}$ nhọn).
Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý cosin cho cạnh $AB$, ta có:
$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.\cos 120{}^\circ =7{{a}^{2}}$ $\Rightarrow {A}'{B}'=AB=a\sqrt{7}$.
${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin \widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}.a.2a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác ${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}{C}'K.{A}'{B}'=\dfrac{1}{2}{C}'K.a\sqrt{7}$.
Do đó $\dfrac{1}{2}{C}'K.a\sqrt{7}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow {C}'K=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $AK{C}'$ vuông tại $K$, $\widehat{{C}'AK}=30{}^\circ $ $\Rightarrow $ $A{C}'=\dfrac{{C}'K}{\sin 30{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{21}}{7}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $A{A}'{C}'$ vuông tại ${A}'$ nên $A{A}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{21}}{7} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{35}}{7}$.
Thể tích của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{35}}{7}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{14}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{14}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{104}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{4}$.
$\Rightarrow $ $\left( A{C}',\left( A{A}'{B}'B \right) \right)=\left( A{C}',AK \right)=\widehat{{C}'AK}\Rightarrow \widehat{{C}'AK}=30{}^\circ $ (tam giác ${C}'AK$ vuông tại $K$ nên góc $\widehat{{C}'AK}$ nhọn).
Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý cosin cho cạnh $AB$, ta có:
$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.\cos 120{}^\circ =7{{a}^{2}}$ $\Rightarrow {A}'{B}'=AB=a\sqrt{7}$.
${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin \widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}.a.2a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác ${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}{C}'K.{A}'{B}'=\dfrac{1}{2}{C}'K.a\sqrt{7}$.
Do đó $\dfrac{1}{2}{C}'K.a\sqrt{7}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow {C}'K=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $AK{C}'$ vuông tại $K$, $\widehat{{C}'AK}=30{}^\circ $ $\Rightarrow $ $A{C}'=\dfrac{{C}'K}{\sin 30{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{21}}{7}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $A{A}'{C}'$ vuông tại ${A}'$ nên $A{A}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{21}}{7} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{35}}{7}$.
Thể tích của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{35}}{7}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{14}$.
Đáp án B.