Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $A{A}'=a$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $BC=2a\sqrt{3}$. Góc giữa $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng:
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tam giác $ABC$ cận tại $A$ nên $AH$ vuông góc với $BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& A{A}'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( {A}'AH \right)\Rightarrow BC\bot {A}'H$.
Ta có lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\bigcap \left( {A}'BC \right)=BC \\
& AH\subset \left( ABC \right) \\
& AH\bot BC \\
& {A}'H\subset \left( {A}'BC \right) \\
& {A}'H\bot BC \\
\end{aligned} \right. $, nên góc giữa $ \left( {A}'BC \right) $ và $ \left( ABC \right) $ bằng góc $ \widehat{{A}'HA}=\alpha $.
Xét tam giác ${A}'AH$ vuông tại $A$ có $\tan \alpha =\dfrac{A{A}'}{AH}=\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}BC}=\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}2\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra góc giữa $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& A{A}'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( {A}'AH \right)\Rightarrow BC\bot {A}'H$.
Ta có lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\bigcap \left( {A}'BC \right)=BC \\
& AH\subset \left( ABC \right) \\
& AH\bot BC \\
& {A}'H\subset \left( {A}'BC \right) \\
& {A}'H\bot BC \\
\end{aligned} \right. $, nên góc giữa $ \left( {A}'BC \right) $ và $ \left( ABC \right) $ bằng góc $ \widehat{{A}'HA}=\alpha $.
Xét tam giác ${A}'AH$ vuông tại $A$ có $\tan \alpha =\dfrac{A{A}'}{AH}=\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}BC}=\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}2\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra góc giữa $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
Đáp án A.