Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy ABCD là hình chữ nhật...

Gọi M là trung điểm của $A{A}^{\prime }$.
Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6+3}=3=A^{\prime }C$.
Do đó tam giác $A{A}^{\prime }C$ cân tại C.
Dựng $A^{\prime }E\mathrm{\perp }AC$, do $\left(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$ vuông góc với đáy nên $A^{\prime }E\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.
Lấy $F\in AB$ sao cho $FE\mathrm{\perp }AC$, mà $FE\mathrm{\perp }{A}^{\prime }E$ nên $FE\mathrm{\perp }\left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$, suy ra $FE\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$.
Dựng $EG\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$ mà $FE\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$ nên $FG\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$.
Do đó góc giữa mặt phẳng $\left(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$ và $\left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)$ là góc $\widehat{EGF}$.
Ta có $\tan \widehat{EGF}={\displaystyle \frac{EF}{EG}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow EG={\displaystyle \frac{4}{3}}EF$ mà $\tan \widehat{EAF}={\displaystyle \frac{EF}{EA}}={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}}\Rightarrow EA=\sqrt{2}EF$
Từ đó suy ra $\sin \widehat{GAE}={\displaystyle \frac{GE}{AE}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}EF}{\sqrt{2}EF}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{MC}{AC}}\Rightarrow MC=2\sqrt{2}$
$AM=\sqrt{A{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow A{A}^{\prime }=2$
Ta có $\sin \widehat{GAE}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }E}{A{A}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }E}{2}}\Rightarrow A^{\prime }E={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là $V=A^{\prime }E.AB.BC={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8$