Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, ${A}'C=3$ và mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ và $\left( A{A}'{B}'B \right)$ tạo với nhau góc $\alpha $, thỏa mãn $\tan \alpha =\dfrac{3}{4}$. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ bằng
A. $V=10$.
B. $V=8$.
C. $V=12$.
D. $V=6$.
Gọi M là trung điểm của $A{A}'$.
Ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{6+3}=3={A}'C$.
Do đó tam giác $A{A}'C$ cân tại C.
Dựng ${A}'E\bot AC$, do $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với đáy nên ${A}'E\bot \left( ABCD \right)$.
Lấy $F\in AB$ sao cho $FE\bot AC$, mà $FE\bot {A}'E$ nên $FE\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$, suy ra $FE\bot A{A}'$.
Dựng $EG\bot A{A}'$ mà $FE\bot A{A}'$ nên $FG\bot A{A}'$.
Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ và $\left( A{A}'{B}'B \right)$ là góc $\widehat{EGF}$.
Ta có $\tan \widehat{EGF}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EG=\dfrac{4}{3}EF$ mà $\tan \widehat{EAF}=\dfrac{EF}{EA}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\Rightarrow EA=\sqrt{2}EF$
Từ đó suy ra $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{GE}{AE}=\dfrac{\dfrac{4}{3}EF}{\sqrt{2}EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{MC}{AC}\Rightarrow MC=2\sqrt{2}$
$AM=\sqrt{A{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow A{A}'=2$
Ta có $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{{A}'E}{A{A}'}=\dfrac{{A}'E}{2}\Rightarrow {A}'E=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V={A}'E.AB.BC=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8$
A. $V=10$.
B. $V=8$.
C. $V=12$.
D. $V=6$.
Gọi M là trung điểm của $A{A}'$.
Ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{6+3}=3={A}'C$.
Do đó tam giác $A{A}'C$ cân tại C.
Dựng ${A}'E\bot AC$, do $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với đáy nên ${A}'E\bot \left( ABCD \right)$.
Lấy $F\in AB$ sao cho $FE\bot AC$, mà $FE\bot {A}'E$ nên $FE\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$, suy ra $FE\bot A{A}'$.
Dựng $EG\bot A{A}'$ mà $FE\bot A{A}'$ nên $FG\bot A{A}'$.
Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ và $\left( A{A}'{B}'B \right)$ là góc $\widehat{EGF}$.
Ta có $\tan \widehat{EGF}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EG=\dfrac{4}{3}EF$ mà $\tan \widehat{EAF}=\dfrac{EF}{EA}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\Rightarrow EA=\sqrt{2}EF$
Từ đó suy ra $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{GE}{AE}=\dfrac{\dfrac{4}{3}EF}{\sqrt{2}EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{MC}{AC}\Rightarrow MC=2\sqrt{2}$
$AM=\sqrt{A{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow A{A}'=2$
Ta có $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{{A}'E}{A{A}'}=\dfrac{{A}'E}{2}\Rightarrow {A}'E=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V={A}'E.AB.BC=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8$
Đáp án B.