Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có ABCD là hình chữ nhật ${A}'A={A}'B={A}'D.$ Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ biết rằng $AB=a,AD=a\sqrt{3},{A}'A=2a.$
A. $3{{a}^{3}}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
D. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow OA=OB=OD.$
Mà ${A}'A={A}'B={A}'D$ nên ${A}'O\bot \left( ABD \right)$ (vì ${A}'O$ là trực tâm tam giác ABD)
$\Delta ABD$ vuông tại A
$\Rightarrow BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow OA=OB=OD=a.$
$\Delta {A}'AO$ vuông tại $O\Rightarrow {A}'O=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
${{S}_{ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'O.{{S}_{ABCD}}=3{{a}^{3}}$
A. $3{{a}^{3}}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
D. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow OA=OB=OD.$
Mà ${A}'A={A}'B={A}'D$ nên ${A}'O\bot \left( ABD \right)$ (vì ${A}'O$ là trực tâm tam giác ABD)
$\Delta ABD$ vuông tại A
$\Rightarrow BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow OA=OB=OD=a.$
$\Delta {A}'AO$ vuông tại $O\Rightarrow {A}'O=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
${{S}_{ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'O.{{S}_{ABCD}}=3{{a}^{3}}$
Đáp án A.