Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A, $AB=2a,\widehat{BAC}=120{}^\circ .$ Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên $mp\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối chóp ${A}'.B{B}'{C}'C$ là
A. $2{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}.$
C. $3{{a}^{3}}.$
D. $4{{a}^{3}}.$
Gọi H là trung điểm của BC.
Xét $\Delta ABC$ có $BH=2a.\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3},AH=2a.\cos 60{}^\circ =a$
Xét ${A}'HA$ vuông tại H có ${A}'H=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét khối lăng trụ ${A}'{B}'C.ABC$ có $h={A}'H=a\sqrt{3},$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=a\sqrt{3}.{{a}^{3}}\sqrt{3}=3{{a}^{3}}$ Suy ra ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{a}^{3}}$
Mặt khác ta có ${{V}_{{A}'.BC{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{{A}'.ABC}}=3{{a}^{3}}-{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}.$
A. $2{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}.$
C. $3{{a}^{3}}.$
D. $4{{a}^{3}}.$
Gọi H là trung điểm của BC.
Xét $\Delta ABC$ có $BH=2a.\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3},AH=2a.\cos 60{}^\circ =a$
Xét ${A}'HA$ vuông tại H có ${A}'H=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét khối lăng trụ ${A}'{B}'C.ABC$ có $h={A}'H=a\sqrt{3},$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=a\sqrt{3}.{{a}^{3}}\sqrt{3}=3{{a}^{3}}$ Suy ra ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{a}^{3}}$
Mặt khác ta có ${{V}_{{A}'.BC{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{{A}'.ABC}}=3{{a}^{3}}-{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}.$
Đáp án D.