Google
Câu hỏi: Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn $\left( O;r \right)$ và $\left( {O}';r \right)$. $MN$ là một dây cung của đường tròn $\left( O;r \right)$ sao cho ${O}'MN$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( {O}'MN \right)$ tạo với mặt phẳng chứa $\left( O;r \right)$ một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối trụ tính theo $r$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{5}\pi {{r}^{3}}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{r}^{3}}}{7}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}\pi {{r}^{3}}}{5}$
D. $\dfrac{3\sqrt{7}\pi {{r}^{3}}}{7}$
Gọi $h$ là độ dài chiều cao của hình trụ. Ta có ${O}'M={O}'N=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}$
Do tam giác ${O}'MN$ đều nên $MN=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}$
Gọi $H$ là trung điểm của $MN$ thì $OH\bot MN$
Do $O{O}'\bot MN$ nên $MN\bot \left( {O}'OH \right)$
Suy ra $\left( \left( {O}'MN \right),\left( OMN \right) \right)=\left( {O}'H,OH \right)=\widehat{{O}'HO}$. Theo giả thiết thì $\widehat{{O}'HO}=60{}^\circ $
Ta có $OH={O}'O\cot {O}'HO=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$
và $O{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}=O{{M}^{2}}$ hay $\dfrac{1}{3}{{h}^{2}}+\dfrac{1}{4}\left( {{h}^{2}}+{{r}^{2}} \right)={{r}^{2}}$
Suy ra ${{h}^{2}}=\dfrac{9}{7}{{r}^{2}}$ hay $h=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}r$
Vậy thể tích khối trụ tính theo $r$ bằng $\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{3\sqrt{7}\pi {{r}^{3}}}{7}$
A. $\dfrac{3\sqrt{5}\pi {{r}^{3}}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{r}^{3}}}{7}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}\pi {{r}^{3}}}{5}$
D. $\dfrac{3\sqrt{7}\pi {{r}^{3}}}{7}$
Gọi $h$ là độ dài chiều cao của hình trụ. Ta có ${O}'M={O}'N=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}$
Do tam giác ${O}'MN$ đều nên $MN=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}$
Gọi $H$ là trung điểm của $MN$ thì $OH\bot MN$
Do $O{O}'\bot MN$ nên $MN\bot \left( {O}'OH \right)$
Suy ra $\left( \left( {O}'MN \right),\left( OMN \right) \right)=\left( {O}'H,OH \right)=\widehat{{O}'HO}$. Theo giả thiết thì $\widehat{{O}'HO}=60{}^\circ $
Ta có $OH={O}'O\cot {O}'HO=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$
và $O{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}=O{{M}^{2}}$ hay $\dfrac{1}{3}{{h}^{2}}+\dfrac{1}{4}\left( {{h}^{2}}+{{r}^{2}} \right)={{r}^{2}}$
Suy ra ${{h}^{2}}=\dfrac{9}{7}{{r}^{2}}$ hay $h=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}r$
Vậy thể tích khối trụ tính theo $r$ bằng $\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{3\sqrt{7}\pi {{r}^{3}}}{7}$
Đáp án D.