Google
Câu hỏi: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và $({O}';R);O{O}'=4R$. Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm A, B sao cho $AB=R\sqrt{3}$. Mặt phẳng (P) đi qua A, B cắt đoạn $O{O}'$ và tạo với đáy một góc $60{}^\circ $, (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng
A. $\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
B. $\left( \dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$
C. $\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$
D. $\left( \dfrac{4\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
A. $\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
B. $\left( \dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$
C. $\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$
D. $\left( \dfrac{4\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
Cách 1: Gọi diện tích cần tìm là S, diện tích của hình này chiếu xuống đáy là ${S}'$.
Ta có: ${S}'=S.c\text{os60}{}^\circ $
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc như hình vẽ.
Trong $\Delta AOB$ ta có $cos\widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}=\dfrac{2\pi }{3}$.
Suy ra sđ $\widehat{AOB}$ lớn $=\dfrac{4\pi }{3}$
Do đó ${S}'={{S}_{quatAOB}}+{{S}_{\Delta AOB}}=\dfrac{\dfrac{4\pi }{3}}{2\pi }.\pi {{R}^{2}}+\dfrac{1}{2}\sin \left( \dfrac{2\pi }{3} \right){{R}^{2}}=\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$
Vậy ${S}'=\dfrac{S}{\text{cos60}{}^\circ }=2\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}=\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
Cách 2: Ta có $cos\widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ \Rightarrow OH=\dfrac{R}{2}$.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ trên.
Suy ra phương trình đường tròn đáy là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc như hình vẽ.
Ta có $S=2\int\limits_{-\dfrac{R}{2}}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx$. Đặt $x=R.\sin t\Rightarrow S=\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$.
Gọi diện tích phần elip cần tính là ${S}'$.
Theo công thức hình chiếu, ta có ${S}'=\dfrac{S}{\text{cos60}{}^\circ }=2S=\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
Ta có: ${S}'=S.c\text{os60}{}^\circ $
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc như hình vẽ.
Suy ra sđ $\widehat{AOB}$ lớn $=\dfrac{4\pi }{3}$
Do đó ${S}'={{S}_{quatAOB}}+{{S}_{\Delta AOB}}=\dfrac{\dfrac{4\pi }{3}}{2\pi }.\pi {{R}^{2}}+\dfrac{1}{2}\sin \left( \dfrac{2\pi }{3} \right){{R}^{2}}=\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$
Vậy ${S}'=\dfrac{S}{\text{cos60}{}^\circ }=2\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}=\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
Cách 2: Ta có $cos\widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ \Rightarrow OH=\dfrac{R}{2}$.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ trên.
Suy ra phương trình đường tròn đáy là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc như hình vẽ.
Ta có $S=2\int\limits_{-\dfrac{R}{2}}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx$. Đặt $x=R.\sin t\Rightarrow S=\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$.
Gọi diện tích phần elip cần tính là ${S}'$.
Theo công thức hình chiếu, ta có ${S}'=\dfrac{S}{\text{cos60}{}^\circ }=2S=\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$
Đáp án A.