Google
Câu hỏi: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Cắt khối trụ bằng mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng $\dfrac{r\sqrt{2}}{2}.$ Mặt phẳng (P) chia khối trụ thành hai phần. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của phần chứa tâm của đường tròn đáy và ${{V}_{2}}$ thể tích của phần không chứa tâm của đường tròn đáy, khi đó tỷ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{3\pi +2}{\pi -2}.$
B. $\dfrac{\pi -2}{3\pi +2}.$
C. $3+2\sqrt{2}.$
D. $\dfrac{3\pi -2}{\pi -2}.$
Cách 1: Mặt phẳng (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng $2\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( \dfrac{r\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=r\sqrt{2}.$ Độ dài $r\sqrt{2}$ chính là độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính r.
Xét hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, nội tiếp hình trụ. Khi đó khối hộp chữ nhật đó chia khối trụ thành 5 phần, gồm một phần là khối hộp và bốn phần bằng nhau ở ngoài khối hộp nhưng ở trong khối trụ.
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Thể tích khối hộp nói trên là ${{V}_{0}}={{\left( r\sqrt{2} \right)}^{2}}h=2{{r}^{2}}h.$
Suy ra ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( V-{{V}_{0}} \right)=\dfrac{\pi -2}{4}{{r}^{2}}h$ và ${{V}_{1}}=V-{{V}_{2}}=\dfrac{3\pi +2}{4}{{r}^{2}}h.$
Do đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3\pi +2}{\pi -2}.$
Cách 2: Mặt phẳng (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng $2\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( \dfrac{r\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=r\sqrt{2}.$
Gọi MN là dây cung mà (P) cắt một đường tròn đáy của hình trụ đã cho.
Do $MN=r\sqrt{2}$ nên góc ở tâm chắn cung nhỏ MN bằng $\dfrac{\pi }{2}.$
Suy ra diện tích hình viên phân ứng với dây cung MN là
A. $\dfrac{3\pi +2}{\pi -2}.$
B. $\dfrac{\pi -2}{3\pi +2}.$
C. $3+2\sqrt{2}.$
D. $\dfrac{3\pi -2}{\pi -2}.$
Cách 1: Mặt phẳng (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng $2\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( \dfrac{r\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=r\sqrt{2}.$ Độ dài $r\sqrt{2}$ chính là độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính r.
Xét hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, nội tiếp hình trụ. Khi đó khối hộp chữ nhật đó chia khối trụ thành 5 phần, gồm một phần là khối hộp và bốn phần bằng nhau ở ngoài khối hộp nhưng ở trong khối trụ.
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Thể tích khối hộp nói trên là ${{V}_{0}}={{\left( r\sqrt{2} \right)}^{2}}h=2{{r}^{2}}h.$
Suy ra ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( V-{{V}_{0}} \right)=\dfrac{\pi -2}{4}{{r}^{2}}h$ và ${{V}_{1}}=V-{{V}_{2}}=\dfrac{3\pi +2}{4}{{r}^{2}}h.$
Do đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3\pi +2}{\pi -2}.$
Cách 2: Mặt phẳng (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng $2\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( \dfrac{r\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=r\sqrt{2}.$
Gọi MN là dây cung mà (P) cắt một đường tròn đáy của hình trụ đã cho.
Do $MN=r\sqrt{2}$ nên góc ở tâm chắn cung nhỏ MN bằng $\dfrac{\pi }{2}.$
Suy ra diện tích hình viên phân ứng với dây cung MN là
${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}\left( \dfrac{\pi }{2}-\sin \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{4}\pi {{r}^{2}}-\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}.$
Diện tích hình tròn đáy của hình trụ là $S=\pi {{r}^{2}}$ nên diện tích phần còn lại là${{S}_{2}}=S-{{S}_{1}}=\dfrac{3}{4}\pi {{r}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}.$
Do đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}=\dfrac{3\pi +2}{\pi -2}.$Đáp án A.