Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương có thể bằng $V.$ Kí hiệu ${V}'$ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các tâm của các mặt của khối lập phương. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$
A. $\dfrac{1}{4}.$
B. $\dfrac{1}{8}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{1}{6}.$
Gọi cạnh của khối lập phương là $a\left( a>0 \right)$
Gọi $M,N,P,Q,{{O}_{1}},{{O}_{2}}$ là tâm của các mặt của khối lập phương.
${V}'=2{{V}_{{{O}_{1}}.MNPQ}}=2.\dfrac{1}{3}d\left( {{O}_{1}};\left( MNPQ \right) \right).{{S}_{MNPQ}}=2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.{{S}_{MNPQ}}.$
Tứ giác $MNPQ$ là hình vuông $\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}PM.QN=\dfrac{1}{2}a.a=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {V}'=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Vậy $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{3}}}{6}}{{{a}^{3}}}=\dfrac{1}{6}.$ Chọn D.
A. $\dfrac{1}{4}.$
B. $\dfrac{1}{8}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{1}{6}.$
Gọi $M,N,P,Q,{{O}_{1}},{{O}_{2}}$ là tâm của các mặt của khối lập phương.
${V}'=2{{V}_{{{O}_{1}}.MNPQ}}=2.\dfrac{1}{3}d\left( {{O}_{1}};\left( MNPQ \right) \right).{{S}_{MNPQ}}=2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.{{S}_{MNPQ}}.$
Tứ giác $MNPQ$ là hình vuông $\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}PM.QN=\dfrac{1}{2}a.a=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {V}'=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Vậy $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{3}}}{6}}{{{a}^{3}}}=\dfrac{1}{6}.$ Chọn D.
Đáp án D.