Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'. Mặt phẳng $\left( AEF \right)$ cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chứa điểm A' và ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chứa điểm C'. Khi đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ là:
A. $\dfrac{25}{47}.$
B. 1.
C. $\dfrac{8}{17}.$
D. $\dfrac{17}{25}.$
Dựng thiết diện: PQ qua A và song song với BD (vì $EF//B'D'//BD$ ).
PE cắt các cạnh BB', CC' tại M và I. Tương tự ta tìm được giao điểm N. Thiết diện là AMEFN.
Dựa vào đường trung bình BD và định lí Ta-lét cho các tam giác IAC, DNQ, D'NF ta tính được: $IC'=\dfrac{a}{3},ND=\dfrac{2a}{3}$. Tương tự ta tính được: $MB=\dfrac{2a}{3}$. Và ta có: $QD=PB=a$.
Ta có ${{V}_{IEFC'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{72}$. Dùng tỉ lệ thể tích ta có: ${{V}_{IPQC}}={{4}^{3}}.{{V}_{IEFC'}}=64.\dfrac{{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$
${{V}_{NADQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}={{V}_{MPAB}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}-\dfrac{{{a}^{3}}}{72}-2.\dfrac{{{a}^{3}}}{9}=\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}$.
Thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là ${{a}^{3}}$ nên ${{V}_{1}}={{a}^{3}}-\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{25{{a}^{3}}}{72}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}$.
A. $\dfrac{25}{47}.$
B. 1.
C. $\dfrac{8}{17}.$
D. $\dfrac{17}{25}.$
Dựng thiết diện: PQ qua A và song song với BD (vì $EF//B'D'//BD$ ).
PE cắt các cạnh BB', CC' tại M và I. Tương tự ta tìm được giao điểm N. Thiết diện là AMEFN.
Dựa vào đường trung bình BD và định lí Ta-lét cho các tam giác IAC, DNQ, D'NF ta tính được: $IC'=\dfrac{a}{3},ND=\dfrac{2a}{3}$. Tương tự ta tính được: $MB=\dfrac{2a}{3}$. Và ta có: $QD=PB=a$.
Ta có ${{V}_{IEFC'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{72}$. Dùng tỉ lệ thể tích ta có: ${{V}_{IPQC}}={{4}^{3}}.{{V}_{IEFC'}}=64.\dfrac{{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$
${{V}_{NADQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}={{V}_{MPAB}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}-\dfrac{{{a}^{3}}}{72}-2.\dfrac{{{a}^{3}}}{9}=\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}$.
Thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là ${{a}^{3}}$ nên ${{V}_{1}}={{a}^{3}}-\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{25{{a}^{3}}}{72}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}$.
Đáp án A.