Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của ${C}'{B}'$ và ${C}'{D}'$. Mặt phẳng $\left( AEF \right)$ cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chứa điểm ${A}'$ và ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chứa điểm ${C}'$. Khi đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ là:
A. $\dfrac{25}{47}$.
B. 1.
C. $\dfrac{8}{17}$.
D. $\dfrac{17}{25}$.
Dựng thiết diện: PQ qua A và song song với BD (vì $EF//{B}'{D}'//BD$ )
PE cắt các cạnh $B{B}',C{C}'$ tại M và I. Tương tự ta tìm được giao điểm N. Thiết diện là AMEFN.
Dựa vào đường trung bình BD và định lí Ta –lét cho các tam giác IAC, DNQ, D'NF ta tính được:
$I{C}'=\dfrac{a}{3},ND=\dfrac{2a}{3}$. Tương tự ta tính được: $MB=\dfrac{2a}{3}$. Và ta có $QD=PB=a$
Ta có: ${{V}_{IEF{C}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{72}$. Dùng tỉ lệ thể tích ta có: ${{V}_{IPQC}}={{4}^{3}}.{{V}_{IEF{C}'}}=64.\dfrac{{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$
${{V}_{NADQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}={{V}_{MPAB}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}-\dfrac{{{a}^{3}}}{72}-2.\dfrac{{{a}^{3}}}{9}=\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}$
Thể tích khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là ${{a}^{3}}$ nên ${{V}_{1}}={{a}^{3}}-\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{25{{a}^{3}}}{72}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}$
A. $\dfrac{25}{47}$.
B. 1.
C. $\dfrac{8}{17}$.
D. $\dfrac{17}{25}$.
Dựng thiết diện: PQ qua A và song song với BD (vì $EF//{B}'{D}'//BD$ )
PE cắt các cạnh $B{B}',C{C}'$ tại M và I. Tương tự ta tìm được giao điểm N. Thiết diện là AMEFN.
Dựa vào đường trung bình BD và định lí Ta –lét cho các tam giác IAC, DNQ, D'NF ta tính được:
$I{C}'=\dfrac{a}{3},ND=\dfrac{2a}{3}$. Tương tự ta tính được: $MB=\dfrac{2a}{3}$. Và ta có $QD=PB=a$
Ta có: ${{V}_{IEF{C}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{72}$. Dùng tỉ lệ thể tích ta có: ${{V}_{IPQC}}={{4}^{3}}.{{V}_{IEF{C}'}}=64.\dfrac{{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$
${{V}_{NADQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}={{V}_{MPAB}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}-\dfrac{{{a}^{3}}}{72}-2.\dfrac{{{a}^{3}}}{9}=\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}$
Thể tích khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là ${{a}^{3}}$ nên ${{V}_{1}}={{a}^{3}}-\dfrac{47{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{25{{a}^{3}}}{72}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}$
Đáp án A.