Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh đáy bằng $a$. Biết khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ bằng $\dfrac{a}{2}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Đặt $A{A}'=b , d\left( A;\left( {A}'BD \right) \right)=h.$. Gọi $O=AC\cap BD$.
Do $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là lăng trụ tứ giác đều suy ra $O$ là trung điểm của $AC$. Suy ra:
$d\left( C;\left( {A}'BD \right) \right)=d\left( A;\left( {A}'BD \right) \right)=h$.
Ta có: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\Rightarrow b=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=AB.AC.A{A}'=a. a. \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Do $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là lăng trụ tứ giác đều suy ra $O$ là trung điểm của $AC$. Suy ra:
$d\left( C;\left( {A}'BD \right) \right)=d\left( A;\left( {A}'BD \right) \right)=h$.
Ta có: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\Rightarrow b=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=AB.AC.A{A}'=a. a. \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án D.