Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a$. Mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.$$
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Ta có $\widehat{\left( \left( A{B}'{C}' \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)}=\widehat{\left( {A}'M,AM \right)}=\widehat{{A}'MA}=60{}^\circ $
Vì tam giác ${A}'{B}'{C}'$ là tam giác đều nên ${A}'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Xét tam giác $AM{A}'$ vuông tại ${A}'$ có $A{A}'={A}'M.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}$
$V={{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}.A{A}'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Ta có $\widehat{\left( \left( A{B}'{C}' \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)}=\widehat{\left( {A}'M,AM \right)}=\widehat{{A}'MA}=60{}^\circ $
Vì tam giác ${A}'{B}'{C}'$ là tam giác đều nên ${A}'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Xét tam giác $AM{A}'$ vuông tại ${A}'$ có $A{A}'={A}'M.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}$
$V={{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}.A{A}'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án B.