Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng tứ giác $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông; khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $D{C}'$ lần lượt bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$ ; $\alpha $ với $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{4}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Lăng trụ đứng tứ giác $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $x$ và cạnh bên bằng $y$.
Do $AC \text{//} \text{{A}'{C}'}\Rightarrow \left( AC,D{C}' \right)=\left( {A}'{C}',D{C}' \right)=\widehat{{A}'{C}'D}$.
Do tam giác $D{A}'{C}'$ cân tại $D$ $\Rightarrow \widehat{{A}'{C}'D}<90{}^\circ $.
Áp dụng định lý côsin và giả thiết ta được: $\cos \widehat{{A}'{C}'D}=\dfrac{{C}'{{{{A}'}}^{2}}+{C}'{{D}^{2}}-{A}'{{D}^{2}}}{2{C}'{A}'{C}'D}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2\sqrt{x}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\dfrac{x}{\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow y=x\sqrt{3}$.
Mặt khác: $AC \text{//} \text{{A}'{C}'}\Rightarrow AC \text{//} \left( \text{D{A}'{C}'} \right)\Rightarrow d\left( AC,D{C}' \right)=d\left( AC,\left( D{A}'{C}' \right) \right)$
$=d\left( A,\left( D{A}'{C}' \right) \right)=d\left( {D}',\left( D{A}'{C}' \right) \right)$.
Do $A{D}'$ cắt $\left( D{A}'{C}' \right)$ tại trung điểm $I$ của $AD$
Xét tứ diện $D.D{A}'{C}'$ vuông tại ${D}'$ có:
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( {D}',\left( D{A}'{C}' \right) \right)}=\dfrac{1}{{D}'{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{{D}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{D}'{{{{C}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{49}{21{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a$
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V={{x}^{2}}y={{x}^{3}}\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Do $AC \text{//} \text{{A}'{C}'}\Rightarrow \left( AC,D{C}' \right)=\left( {A}'{C}',D{C}' \right)=\widehat{{A}'{C}'D}$.
Do tam giác $D{A}'{C}'$ cân tại $D$ $\Rightarrow \widehat{{A}'{C}'D}<90{}^\circ $.
Áp dụng định lý côsin và giả thiết ta được: $\cos \widehat{{A}'{C}'D}=\dfrac{{C}'{{{{A}'}}^{2}}+{C}'{{D}^{2}}-{A}'{{D}^{2}}}{2{C}'{A}'{C}'D}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2\sqrt{x}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\dfrac{x}{\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow y=x\sqrt{3}$.
Mặt khác: $AC \text{//} \text{{A}'{C}'}\Rightarrow AC \text{//} \left( \text{D{A}'{C}'} \right)\Rightarrow d\left( AC,D{C}' \right)=d\left( AC,\left( D{A}'{C}' \right) \right)$
$=d\left( A,\left( D{A}'{C}' \right) \right)=d\left( {D}',\left( D{A}'{C}' \right) \right)$.
Do $A{D}'$ cắt $\left( D{A}'{C}' \right)$ tại trung điểm $I$ của $AD$
Xét tứ diện $D.D{A}'{C}'$ vuông tại ${D}'$ có:
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( {D}',\left( D{A}'{C}' \right) \right)}=\dfrac{1}{{D}'{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{{D}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{D}'{{{{C}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{49}{21{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a$
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V={{x}^{2}}y={{x}^{3}}\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Đáp án D.