Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân với $AB=AC=a,$ $\overset\frown{BAC}={{120}^{0}}$, mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=\dfrac{9{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ mà $\Delta {A}'{B}'{C}'; \Delta A{B}'{C}'$ cân nên $AM\bot {B}'{C}'; {A}'M\bot {B}'{C}'$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( \left( A{B}'{C}' \right);\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)={{60}^{0}} \\
& \left( A{B}'{C}' \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}' \right)={B}'{C}' \\
& AM\bot {B}'{C}'; {A}'M\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overset\frown{AM{A}'}={{60}^{0}}$.
Ta có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \overset\frown{BAC}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.a.a.\cos {{120}^{0}}=3{{a}^{2}}$ $\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$.
${A}'M=\sqrt{{A}'{{{{C}'}}^{2}}-{C}'{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}$.
$A{A}'={A}'M.\tan \overset\frown{AM{A}'}=\dfrac{a}{2}.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=A{A}'.\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.a.a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
A. $V=\dfrac{9{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( \left( A{B}'{C}' \right);\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)={{60}^{0}} \\
& \left( A{B}'{C}' \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}' \right)={B}'{C}' \\
& AM\bot {B}'{C}'; {A}'M\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overset\frown{AM{A}'}={{60}^{0}}$.
Ta có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \overset\frown{BAC}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.a.a.\cos {{120}^{0}}=3{{a}^{2}}$ $\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$.
${A}'M=\sqrt{{A}'{{{{C}'}}^{2}}-{C}'{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}$.
$A{A}'={A}'M.\tan \overset\frown{AM{A}'}=\dfrac{a}{2}.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=A{A}'.\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.a.a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án D.