Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân với $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ $. Mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho là
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
B. $V=\dfrac{9{{a}^{3}}}{8}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
B. $V=\dfrac{9{{a}^{3}}}{8}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
Gọi $I$ là trung điểm của ${B}'{C}'$
Trong $\Delta {A}'{B}'{C}' : {B}'{{{C}'}^{2}}={A}'{{{B}'}^{2}}+{A}'{{{C}'}^{2}}-2{A}'{B}'.{A}'{C}'.\cos \widehat{{B}'{A}'{C}'}=3{{a}^{2}}$
${{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}a.a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${A}'I=\dfrac{2{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}}{{B}'{C}'}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( A{B}'{C}' \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}' \right)={B}'{C}' \\
& AI\bot {B}'{C}' \\
& {A}'I\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{AI{A}'}=60{}^\circ $
Trong tam giác vuông $AI{A}'$ có $A{A}'={A}'I\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy thể tích $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Trong $\Delta {A}'{B}'{C}' : {B}'{{{C}'}^{2}}={A}'{{{B}'}^{2}}+{A}'{{{C}'}^{2}}-2{A}'{B}'.{A}'{C}'.\cos \widehat{{B}'{A}'{C}'}=3{{a}^{2}}$
${{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}a.a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${A}'I=\dfrac{2{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}}{{B}'{C}'}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( A{B}'{C}' \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}' \right)={B}'{C}' \\
& AI\bot {B}'{C}' \\
& {A}'I\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{AI{A}'}=60{}^\circ $
Trong tam giác vuông $AI{A}'$ có $A{A}'={A}'I\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy thể tích $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Đáp án A.