Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $2a$. Biết khoảng cách từ điểm ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ bằng $a$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\bot {B}'{C}' \\
& {A}'M\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( A{A}'M \right) $ $ \Rightarrow \left( A{B}'{C}' \right)\bot \left( A{A}'M \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( A{A}'M \right)$, kẻ ${A}'H\bot AM$, suy ra ${A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)$.
Vậy khoảng cách từ ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ là ${A}'H=a$. $AM=a\sqrt{3}$
Ta có $\dfrac{1}{{A}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{M}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{{A}'{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow {A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\bot {B}'{C}' \\
& {A}'M\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( A{A}'M \right) $ $ \Rightarrow \left( A{B}'{C}' \right)\bot \left( A{A}'M \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( A{A}'M \right)$, kẻ ${A}'H\bot AM$, suy ra ${A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)$.
Vậy khoảng cách từ ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ là ${A}'H=a$. $AM=a\sqrt{3}$
Ta có $\dfrac{1}{{A}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{M}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{{A}'{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow {A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
Đáp án B.