Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Khoảng cách từ C đến đường thẳng $BB'$ bằng $\sqrt{5}$, khoảng cách từ A đến các đường thẳng $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ là trung điểm M của $B'C'$ và $A'M=\sqrt{5}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
B. $\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên $BB'$ và $CC'$, H là hình chiếu vuông góc của C lên $BB'$. Ta có:
$AJ\bot BB'\left( 1 \right). AK\bot CC'\Rightarrow AK\bot BB'\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $BB'\bot \left( AJK \right)$
$\Rightarrow BB'\bot JK\Rightarrow JK//CH\Rightarrow JK=CH=\sqrt{5}$.
Xét ΔẠJK có $J{{K}^{2}}=A{{J}^{2}}+A{{K}^{2}}=5$ suy ra ΔẠJK vuông tại A. Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có $AF=JF=FK=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác vuông ANF ta có:
$\cos \widehat{NAF}=\dfrac{AF}{AN}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NAF}={{60}^{o}}\left( AN=AM=\sqrt{5} v\grave{i} AN//AM v\grave{a} AN=AM \right)$
Vậy ta có: ${{S}_{\Delta AJK}}=\dfrac{1}{2}AJ.AK=\dfrac{1}{2}.1.2=1\Rightarrow {{S}_{\Delta AJK}}={{S}_{\Delta ABC}}.\cos {{60}^{o}}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{S}_{\Delta AJK}}}{\cos {{60}^{o}}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$
Xét tam giác $AMA'$ vuông tại M ta có: $\widehat{MAA'}=\widehat{AMF}={{30}^{o}}$
Hay $AM=AM'.\tan {{30}^{o}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=AM.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}.2=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
B. $\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên $BB'$ và $CC'$, H là hình chiếu vuông góc của C lên $BB'$. Ta có:
$AJ\bot BB'\left( 1 \right). AK\bot CC'\Rightarrow AK\bot BB'\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $BB'\bot \left( AJK \right)$
$\Rightarrow BB'\bot JK\Rightarrow JK//CH\Rightarrow JK=CH=\sqrt{5}$.
Xét ΔẠJK có $J{{K}^{2}}=A{{J}^{2}}+A{{K}^{2}}=5$ suy ra ΔẠJK vuông tại A. Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có $AF=JF=FK=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác vuông ANF ta có:
$\cos \widehat{NAF}=\dfrac{AF}{AN}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NAF}={{60}^{o}}\left( AN=AM=\sqrt{5} v\grave{i} AN//AM v\grave{a} AN=AM \right)$
Vậy ta có: ${{S}_{\Delta AJK}}=\dfrac{1}{2}AJ.AK=\dfrac{1}{2}.1.2=1\Rightarrow {{S}_{\Delta AJK}}={{S}_{\Delta ABC}}.\cos {{60}^{o}}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{S}_{\Delta AJK}}}{\cos {{60}^{o}}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$
Xét tam giác $AMA'$ vuông tại M ta có: $\widehat{MAA'}=\widehat{AMF}={{30}^{o}}$
Hay $AM=AM'.\tan {{30}^{o}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=AM.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}.2=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
Đáp án B.