Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB' bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và CC' lần lượt bằng 1 và $\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ là trung điểm M của B'C' và $A'M=2.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\sqrt{3}.$
B. 2.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
D. 1.
Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB', CC'
Theo đề ra $A{{A}_{1}}=1;A{{A}_{2}}=\sqrt{3};{{A}_{1}}{{A}_{2}}=2.$
Do $AA_{1}^{2}+AA_{2}^{2}={{A}_{1}}A_{2}^{2}$ nên tam giác $A{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ vuông tại A. Gọi H là trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$. Ta có: $AH=\dfrac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{2}=1.$ Lại có $MH\parallel BB'\Rightarrow MH\bot \left( A{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)\Rightarrow MH\bot AH$ mà $AA'\parallel MH\Rightarrow AA'\bot AH.$ Kẻ MH song song với AH, cắt AA' tại N.
Ta có $MN=AH=1$ và $AA'\bot MN.$
Trong tam giác vuông $A'MN$ có $\sin \widehat{MA'N}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{MA'N}=30{}^\circ .$ Suy ra trong tam giác vuông $A'MA$ có $AA'=\dfrac{A'M}{\text{cos30}{}^\circ }=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$ Gọi K là chân đường cao trong tam giác vuông $A{{A}_{1}}{{A}_{2}}.$ Ta có $AK\bot \left( BCC'B' \right)$ và $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{AA_{1}^{2}}+\dfrac{1}{AA_{2}^{2}}\Rightarrow AK=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Lại có ${{V}_{A.BCC'}}=\dfrac{1}{3}AK.S{_{\Delta BCC'}}=\dfrac{1}{3}.AK.\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{A}_{2}}.CC'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{3}.$
Mà ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=3{{V}_{A.BCC'}}=2.$
A. $\sqrt{3}.$
B. 2.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
D. 1.
Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB', CC'
Theo đề ra $A{{A}_{1}}=1;A{{A}_{2}}=\sqrt{3};{{A}_{1}}{{A}_{2}}=2.$
Do $AA_{1}^{2}+AA_{2}^{2}={{A}_{1}}A_{2}^{2}$ nên tam giác $A{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ vuông tại A. Gọi H là trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$. Ta có: $AH=\dfrac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{2}=1.$ Lại có $MH\parallel BB'\Rightarrow MH\bot \left( A{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)\Rightarrow MH\bot AH$ mà $AA'\parallel MH\Rightarrow AA'\bot AH.$ Kẻ MH song song với AH, cắt AA' tại N.
Ta có $MN=AH=1$ và $AA'\bot MN.$
Trong tam giác vuông $A'MN$ có $\sin \widehat{MA'N}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{MA'N}=30{}^\circ .$ Suy ra trong tam giác vuông $A'MA$ có $AA'=\dfrac{A'M}{\text{cos30}{}^\circ }=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$ Gọi K là chân đường cao trong tam giác vuông $A{{A}_{1}}{{A}_{2}}.$ Ta có $AK\bot \left( BCC'B' \right)$ và $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{AA_{1}^{2}}+\dfrac{1}{AA_{2}^{2}}\Rightarrow AK=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Lại có ${{V}_{A.BCC'}}=\dfrac{1}{3}AK.S{_{\Delta BCC'}}=\dfrac{1}{3}.AK.\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{A}_{2}}.CC'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{3}.$
Mà ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=3{{V}_{A.BCC'}}=2.$
Đáp án B.