Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng $3.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}'$ và $B{B}'.$ Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng ${C}'{A}'$ tại $P,$ đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng ${C}'{B}'$ tại $Q.$ Thể tích khối đa diện lồi ${A}'MP{B}'NQ$ bằng
A. $2.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $1.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Ta thấy ${A}'{B}'$ là đường trung bình của tam giác ${C}'PQ$ nên ${{S}_{{C}'PQ}}=4{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}$.
Ta được ${{V}_{C.{C}'PQ}}=\dfrac{1}{3}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).{{S}_{{C}'PQ}}$ $=\dfrac{1}{3}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).4{{S}_{{C}'{A}'{B}'}}$ $=\dfrac{4}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$. (1)
Lại có: ${{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( C,\left( ABMN \right) \right).{{S}_{ABMN}}$
$=\dfrac{1}{3}d\left( C,\left( ABMN \right) \right).\dfrac{1}{2}{{S}_{AB{B}'{A}'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Do đó ${{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ${{V}_{M{A}'P.N{B}'Q}}$ $={{V}_{C.{C}'PQ}}-{{V}_{CMN.{C}'{A}'{B}'}}$ $=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}.3=2.$
A. $2.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $1.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Ta được ${{V}_{C.{C}'PQ}}=\dfrac{1}{3}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).{{S}_{{C}'PQ}}$ $=\dfrac{1}{3}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).4{{S}_{{C}'{A}'{B}'}}$ $=\dfrac{4}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$. (1)
Lại có: ${{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( C,\left( ABMN \right) \right).{{S}_{ABMN}}$
$=\dfrac{1}{3}d\left( C,\left( ABMN \right) \right).\dfrac{1}{2}{{S}_{AB{B}'{A}'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Do đó ${{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ${{V}_{M{A}'P.N{B}'Q}}$ $={{V}_{C.{C}'PQ}}-{{V}_{CMN.{C}'{A}'{B}'}}$ $=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}.3=2.$
Đáp án A.