Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ Gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'.$ Mặt phẳng $\left( MD{C}' \right)$ chia khối hộp chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh $C$ và một khối chứa đỉnh ${A}'$. Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích hai khối đa diện chứa $C$ và ${A}'$. Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.$
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{24}.$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{17}.$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{12}.$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{17}{24}.$
Kẻ ${C}'M$ cắt $BC$ tại $I$, suy ra $B$ là trung điểm của $CI.$
Nối $DI$ cắt $AB$ tại $E$, suy ra $E$ là trung điểm của $AB,DI.$
Do đó, mặt phẳng $\left( MD{C}' \right)$ cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là tứ giác $DEM{C}'$ và chia khối hộp thành hai khối đa diện có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ (theo bài ra).
Chuẩn hóa hình hộp chữ nhật là hình lập phương cạnh 1.
Và thể tích khối chóp ${{V}_{M.EBI}}=\dfrac{1}{3}.MB.{{S}_{\Delta EBI}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}.$
Suy ra ${{V}_{1}}={{V}_{{C}'.DIC}}-{{V}_{M.EBI}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{7}{24}.$
Vậy tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{V}_{1}}}{1-{{V}_{1}}}=\dfrac{7}{24}:\left( 1-\dfrac{7}{24} \right)=\dfrac{7}{17}.$
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{24}.$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{17}.$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{12}.$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{17}{24}.$
Nối $DI$ cắt $AB$ tại $E$, suy ra $E$ là trung điểm của $AB,DI.$
Do đó, mặt phẳng $\left( MD{C}' \right)$ cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là tứ giác $DEM{C}'$ và chia khối hộp thành hai khối đa diện có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ (theo bài ra).
Chuẩn hóa hình hộp chữ nhật là hình lập phương cạnh 1.
Và thể tích khối chóp ${{V}_{M.EBI}}=\dfrac{1}{3}.MB.{{S}_{\Delta EBI}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}.$
Suy ra ${{V}_{1}}={{V}_{{C}'.DIC}}-{{V}_{M.EBI}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{7}{24}.$
Vậy tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{V}_{1}}}{1-{{V}_{1}}}=\dfrac{7}{24}:\left( 1-\dfrac{7}{24} \right)=\dfrac{7}{17}.$
Đáp án B.