Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông. Gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( MAC \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$. Tính độ dài cạnh hình vuông.
A. $\sqrt{3}a$.
B. $2\sqrt{3}a$.
C. $\sqrt{2}a$.
D. $2\sqrt{2}a$.
Ta có: $\left( ABCD \right) // \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)\to \widehat{\left( \left( MAC \right);\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)}=\widehat{\left( \left( MAC \right);\left( ABCD \right) \right)}={{30}^{0}}$.
$ABCD$ là hình vuông $\to AC\bot BD$ tại $O$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot BO \\
& AC\bot MB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( MBO \right)\Rightarrow AC\bot MO$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& MO\subset \left( MAC \right), MO\bot AC \\
& BO\subset \left( ABCD \right), BO\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( MAC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( MO,BO \right)}=\widehat{MOB}={{30}^{0}}$.
Đặt độ dài cạnh hình vuông là $x\left( x>0 \right)$.
Ta có: $OB=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MB=OB.\tan \widehat{MOB}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{6}\Rightarrow B{B}'=\dfrac{x\sqrt{6}}{3}$.
Ta có: $V=B{B}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{3}.{{x}^{2}}=\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a$.
A. $\sqrt{3}a$.
B. $2\sqrt{3}a$.
C. $\sqrt{2}a$.
D. $2\sqrt{2}a$.
$ABCD$ là hình vuông $\to AC\bot BD$ tại $O$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot BO \\
& AC\bot MB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( MBO \right)\Rightarrow AC\bot MO$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& MO\subset \left( MAC \right), MO\bot AC \\
& BO\subset \left( ABCD \right), BO\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( MAC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( MO,BO \right)}=\widehat{MOB}={{30}^{0}}$.
Đặt độ dài cạnh hình vuông là $x\left( x>0 \right)$.
Ta có: $OB=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MB=OB.\tan \widehat{MOB}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{6}\Rightarrow B{B}'=\dfrac{x\sqrt{6}}{3}$.
Ta có: $V=B{B}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{3}.{{x}^{2}}=\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a$.
Đáp án D.