Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'{B}'CD \right)$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$. Tính thể tích $V$ của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. $V=2{{a}^{3}}.$.
B. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Kẻ $AH\bot {A}'D$ tại $H$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot D{D}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)\Rightarrow CD\bot AH$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot CD \\
& AH\bot {A}'D \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'{B}'CD \right) $ tại $ H$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'{B}'CD \right)$ là ${AH}$.
Tam giác ${A}'AD$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao.
Suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$
Vậy $A{A}'=2a$.
Suy ra $V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=2a.{{a}^{2}}=2{{a}^{3}}.$.
A. $V=2{{a}^{3}}.$.
B. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot D{D}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)\Rightarrow CD\bot AH$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot CD \\
& AH\bot {A}'D \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'{B}'CD \right) $ tại $ H$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'{B}'CD \right)$ là ${AH}$.
Tam giác ${A}'AD$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao.
Suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$
Vậy $A{A}'=2a$.
Suy ra $V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=2a.{{a}^{2}}=2{{a}^{3}}.$.
Đáp án A.