Google
Câu hỏi: Cho khối đa diện như hình vẽ bên. Trong đó $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 1, $S.ABC$ là khối chóp tam giác đều có cạnh bên $SA=\dfrac{2}{3}$. Mặt phẳng $\left( S{A}'{B}' \right)$ chia khối đa diện đã cho thành hai phần. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$, ${{V}_{2}}$ là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $72{{V}_{1}}=5{{V}_{2}}.$
B. $3{{V}_{1}}={{V}_{2}}.$
C. $24{{V}_{1}}=5{{V}_{2}}.$
D. $4{{V}_{1}}={{V}_{2}}.$
Dựng mặt phẳng $\left( S.C{C}'QP \right)$ như hình vẽ với $P$ và $Q$ là trung điểm $AB$ và ${A}'{B}'$
Gọi $H$ và ${H}'$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $\left( ABC \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$, khi đó $H$ và ${H}'$ là trọng tâm hai tam giác đáy.
Gọi $K$ là giao điểm của $CP$ và $SQ$, qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ và $BC$ tại $M$ và $N$.
Mặt phẳng $\left( S{A}'{B}' \right)$ cắt hình lăng trụ theo thiết diện là hình thang $A'B'MN$.
Dễ dàng tính được: $SH=\dfrac{1}{3}$ ; $HP={H}'Q=\dfrac{1}{3}CP=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ; $HK=\dfrac{1}{4}{H}'Q=\dfrac{1}{4}\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{24}$ ;
$PK=HP-HK=\dfrac{\sqrt{3}}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ ; $MN=\dfrac{3}{4}$
Gọi $V$ là thể tích của toàn bộ khối đa diện ta có
$V={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.1+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5\sqrt{3}}{18}$
${{V}_{{B}'ABMN}}=\dfrac{1}{3}.B{B}'.{{S}_{ABMN}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{3}{4} \right)\dfrac{\sqrt{3}}{8}=\dfrac{7\sqrt{3}}{192}$
${{V}_{{B}'A{A}'M}}=\dfrac{1}{3}.d\left( B;\left( AC{C}'{A}' \right) \right).{{S}_{A{A}'M}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.1.\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{48}$
${{V}_{S.ABNM}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{3}{4} \right)\dfrac{\sqrt{3}}{8}=\dfrac{7\sqrt{3}}{576}$
${{V}_{1}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{192}+\dfrac{\sqrt{3}}{48}+\dfrac{7\sqrt{3}}{576}=\dfrac{5\sqrt{3}}{72}$, ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{18}-\dfrac{5\sqrt{3}}{72}=\dfrac{5\sqrt{3}}{24}$
Từ đó suy ra $3{{V}_{1}}={{V}_{2}}$.
B. $3{{V}_{1}}={{V}_{2}}.$
C. $24{{V}_{1}}=5{{V}_{2}}.$
D. $4{{V}_{1}}={{V}_{2}}.$
Dựng mặt phẳng $\left( S.C{C}'QP \right)$ như hình vẽ với $P$ và $Q$ là trung điểm $AB$ và ${A}'{B}'$
Gọi $H$ và ${H}'$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $\left( ABC \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$, khi đó $H$ và ${H}'$ là trọng tâm hai tam giác đáy.
Gọi $K$ là giao điểm của $CP$ và $SQ$, qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ và $BC$ tại $M$ và $N$.
Mặt phẳng $\left( S{A}'{B}' \right)$ cắt hình lăng trụ theo thiết diện là hình thang $A'B'MN$.
Dễ dàng tính được: $SH=\dfrac{1}{3}$ ; $HP={H}'Q=\dfrac{1}{3}CP=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ; $HK=\dfrac{1}{4}{H}'Q=\dfrac{1}{4}\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{24}$ ;
$PK=HP-HK=\dfrac{\sqrt{3}}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ ; $MN=\dfrac{3}{4}$
Gọi $V$ là thể tích của toàn bộ khối đa diện ta có
$V={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.1+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5\sqrt{3}}{18}$
${{V}_{{B}'ABMN}}=\dfrac{1}{3}.B{B}'.{{S}_{ABMN}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{3}{4} \right)\dfrac{\sqrt{3}}{8}=\dfrac{7\sqrt{3}}{192}$
${{V}_{{B}'A{A}'M}}=\dfrac{1}{3}.d\left( B;\left( AC{C}'{A}' \right) \right).{{S}_{A{A}'M}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.1.\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{48}$
${{V}_{S.ABNM}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{3}{4} \right)\dfrac{\sqrt{3}}{8}=\dfrac{7\sqrt{3}}{576}$
${{V}_{1}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{192}+\dfrac{\sqrt{3}}{48}+\dfrac{7\sqrt{3}}{576}=\dfrac{5\sqrt{3}}{72}$, ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{18}-\dfrac{5\sqrt{3}}{72}=\dfrac{5\sqrt{3}}{24}$
Từ đó suy ra $3{{V}_{1}}={{V}_{2}}$.
Note: Phương pháp chung
Đối với những bài toán tính thể tích khối đa diện không thuộc các khối quen thuộc như hình chóp, lăng trụ thì xu hướng chung là chia khối đa diện đã cho thành những khối quen thuộc và tính tổng thể tích.Đáp án B.