Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng $2a$. Gọi $\alpha $ là góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó. Với giá trị nào của $\alpha $ thì thể tích của khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị nhỏ nhất?
A. $\alpha =\arcsin \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B. $\alpha =45{}^\circ $
C. $\alpha =\arccos \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D. $\alpha =60{}^\circ $
A. $\alpha =\arcsin \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B. $\alpha =45{}^\circ $
C. $\alpha =\arccos \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D. $\alpha =60{}^\circ $
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ thì $SO$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ và $SO$ là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Suy ra $CD\bot \left( SMN \right)$
Gọi $K$ là hình chiếu của $N$ lên $SM$. Suy ra $NK\bot \left( SCD \right)$ nên $NK=d\left( N,\left( SCD \right) \right)$
Từ $AB\parallel CD$ suy ra $AB\parallel \left( SCD \right)$. Do đó $NK=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2a$
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot MN \\
& CD\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\alpha $
Do đó $MN=\dfrac{NK}{\sin \alpha }=\dfrac{2a}{\sin \alpha }\Rightarrow SO=OM.\tan \alpha =\dfrac{a}{\cos \alpha }$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}M{{N}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\alpha }.\dfrac{a}{\cos \alpha }=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha }$
Vì vậy ${{V}_{S.ABCD}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow f\left( \alpha \right)={{\sin }^{2}}\alpha .\cos \alpha $ lớn nhất, với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $
Đặt $t=\cos \alpha ,0<t<1$ thì ${{V}_{S.ABCD}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right)t=t-{{t}^{3}}$ lớn nhất với $0<t<1$
Dựa vào bảng biến thiên thì ${{V}_{S.ABCD}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sin \alpha =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Leftrightarrow \alpha =\arcsin \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Suy ra $CD\bot \left( SMN \right)$
Gọi $K$ là hình chiếu của $N$ lên $SM$. Suy ra $NK\bot \left( SCD \right)$ nên $NK=d\left( N,\left( SCD \right) \right)$
Từ $AB\parallel CD$ suy ra $AB\parallel \left( SCD \right)$. Do đó $NK=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2a$
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot MN \\
& CD\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\alpha $
Do đó $MN=\dfrac{NK}{\sin \alpha }=\dfrac{2a}{\sin \alpha }\Rightarrow SO=OM.\tan \alpha =\dfrac{a}{\cos \alpha }$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}M{{N}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\alpha }.\dfrac{a}{\cos \alpha }=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha }$
Vì vậy ${{V}_{S.ABCD}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow f\left( \alpha \right)={{\sin }^{2}}\alpha .\cos \alpha $ lớn nhất, với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $
Đặt $t=\cos \alpha ,0<t<1$ thì ${{V}_{S.ABCD}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right)t=t-{{t}^{3}}$ lớn nhất với $0<t<1$
Dựa vào bảng biến thiên thì ${{V}_{S.ABCD}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sin \alpha =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Leftrightarrow \alpha =\arcsin \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Đáp án A.