Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB=2a, cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC
Ta có $AM=a\sqrt{3}\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$
Mặt khác $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{(\sqrt{2}a)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{(2a)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{\sqrt{6}a}{3}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
Ta có $AM=a\sqrt{3}\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$
Mặt khác $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{(\sqrt{2}a)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{(2a)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{\sqrt{6}a}{3}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án B.