Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng $(SB\text{D})$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
B. $V={{a}^{3}}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên $AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (O là tâm của hình vuông ABCD).
Vì O là trung điểm của AC nên $d\left( C,(SB\text{D}) \right)=d\left( A,(SB\text{D}) \right)$.
Kẻ $AH\bot SO$, do $B\text{D}\bot (SAC)$ nên $B\text{D}\bot AH\Rightarrow AH\bot (SB\text{D})\Rightarrow d\left( A,(SB\text{D}) \right)=AH$ hay $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác SAO có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
B. $V={{a}^{3}}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên $AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (O là tâm của hình vuông ABCD).
Vì O là trung điểm của AC nên $d\left( C,(SB\text{D}) \right)=d\left( A,(SB\text{D}) \right)$.
Kẻ $AH\bot SO$, do $B\text{D}\bot (SAC)$ nên $B\text{D}\bot AH\Rightarrow AH\bot (SB\text{D})\Rightarrow d\left( A,(SB\text{D}) \right)=AH$ hay $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác SAO có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.