Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, tam giác...

Gọi $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$.
Gọi $H$ là chân đường cao của tam giác $\mathrm{\Delta }SMN$.
Vì tam giác $\mathrm{\Delta }SCD$ cân tại $S$ nên $SN\mathrm{\perp }CD$.
Ta có:
$\begin{array}{rl}& CD\mathrm{\perp }SN\\ & CD\mathrm{\perp }MN\\ & SN,MN\subset \left(SMN\right)\\ & SN\cap MN=N\end{array}\}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(SMN\right)\Rightarrow CD\mathrm{\perp }SH$
Mặt khác
$\begin{array}{rl}& SH\mathrm{\perp }CD\\ & SH\mathrm{\perp }MN\\ & CD,MN\subset \left(ABCD\right)\\ & CD\cap MN=N\end{array}\}\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$
Vì tam giác $\mathrm{\Delta }SAB$ vuông cân tại $S$ và $AB=2a$ nên $SM={\displaystyle \frac{AB}{2}}=a$.
Xét tam giác $\mathrm{\Delta }SNC$ vuông tại $N$.
$SN=\sqrt{S{C}^2-C{N}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}a\right)}^2-a^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}$.
$MN=AB=2a$
Nửa chu vi của tam giác $\mathrm{\Delta }SMN$ là: $p={\displaystyle \frac{SM+MN+SN}{2}}={\displaystyle \frac{(6+\sqrt{6}).a}{4}}$
$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }SMN}=\sqrt{p(p-SM).(p-MN).(p-SN)}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}}{a}^2$
Mặt khác: $S_{\mathrm{\Delta }SMN}={\displaystyle \frac{1}{2}}SH.MN\Rightarrow {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}}{a}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}SH.2a\Rightarrow SH={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}}a$
$\Rightarrow V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{ABCD}.SH={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\left(2a\right)}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{15}{a}^3}{6}}$.