Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại C, $\widehat{BCD}={{120}^{o}}, SA\bot \left( ABCD \right), SA=a$. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Tính thể tích khối chóp $S.AMNP$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{42}$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{21}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{14}$
Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}={{60}^{o}}, \widehat{CBD}=\widehat{CDB}={{30}^{o}}$
Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}={{90}^{o}}$
Suy ra $BC\bot AB$, mà $BC\bot SA\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)$
Dựng $AM\bot SB$, ta có $AM\bot BC\Rightarrow AM\bot SC$
Tương tự ta có $AP\bot SD$
Dựng $AN\bot SC$ theo tính chất đối xứng thì $\dfrac{{{V}_{S.AMNP}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{v}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$
Mặt khác $SA=SM.SB\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{2}$
Tương tự ta có $\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{1+A{{C}^{2}}}$
Trong đó $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},CI=IB\tan {{30}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow AC=\dfrac{2}{3}a\sqrt{3}\Rightarrow \dfrac{SN}{SC}=\dfrac{3}{7}$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{S.AMNP}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{14}, {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMNP}}=\dfrac{3}{14}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{3}{14}.\dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{42}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{42}$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{21}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{14}$
Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}={{60}^{o}}, \widehat{CBD}=\widehat{CDB}={{30}^{o}}$
Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}={{90}^{o}}$
Suy ra $BC\bot AB$, mà $BC\bot SA\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)$
Dựng $AM\bot SB$, ta có $AM\bot BC\Rightarrow AM\bot SC$
Tương tự ta có $AP\bot SD$
Dựng $AN\bot SC$ theo tính chất đối xứng thì $\dfrac{{{V}_{S.AMNP}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{v}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$
Mặt khác $SA=SM.SB\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{2}$
Tương tự ta có $\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{1+A{{C}^{2}}}$
Trong đó $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},CI=IB\tan {{30}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow AC=\dfrac{2}{3}a\sqrt{3}\Rightarrow \dfrac{SN}{SC}=\dfrac{3}{7}$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{S.AMNP}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{14}, {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMNP}}=\dfrac{3}{14}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{3}{14}.\dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{42}$.
Đáp án B.