Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm H thuộc đoạn BD sao cho $HD=3HB$. Biết góc giữa mặt $\left( SCD \right)$ và mặt phẳng đáy bằng 45°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
A. $\dfrac{2a\sqrt{38}}{17}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{3}$
C. $\dfrac{2a\sqrt{51}}{13}$
D. $\dfrac{3a\sqrt{34}}{17}$
Kẻ HI // BC cắt CD tại I ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HI \\
& CD\bot SI \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH}={{45}^{o}}$
+ Kẻ $HJ\bot AE$ vuông góc tại J ta có $AE\bot \left( SHJ \right)\Rightarrow \left( SAE \right)\bot \left( SHJ \right)$ theo giao tuyến SJ
+ Kẻ $HK\bot SJ$ vuông góc tại K ta có $HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow HK=d\left( H,\left( SAE \right) \right)$
Ta có $HK=\dfrac{HJ.H\text{S}}{SJ}=\dfrac{HJ.HS}{\sqrt{H{{J}^{2}}+H{{S}^{2}}}}$. Với $HJ=AO=a\sqrt{2}, HI=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a}{2}$
Và $HS=HI=\dfrac{3a}{2}$. Vậy $HK=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3a}{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{3a\sqrt{34}}{17}$
A. $\dfrac{2a\sqrt{38}}{17}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{3}$
C. $\dfrac{2a\sqrt{51}}{13}$
D. $\dfrac{3a\sqrt{34}}{17}$
Kẻ HI // BC cắt CD tại I ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HI \\
& CD\bot SI \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH}={{45}^{o}}$
- Dựng hình bình hành ADBE
+ Kẻ $HJ\bot AE$ vuông góc tại J ta có $AE\bot \left( SHJ \right)\Rightarrow \left( SAE \right)\bot \left( SHJ \right)$ theo giao tuyến SJ
+ Kẻ $HK\bot SJ$ vuông góc tại K ta có $HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow HK=d\left( H,\left( SAE \right) \right)$
Ta có $HK=\dfrac{HJ.H\text{S}}{SJ}=\dfrac{HJ.HS}{\sqrt{H{{J}^{2}}+H{{S}^{2}}}}$. Với $HJ=AO=a\sqrt{2}, HI=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a}{2}$
Và $HS=HI=\dfrac{3a}{2}$. Vậy $HK=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3a}{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{3a\sqrt{34}}{17}$
Đáp án D.