Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a,AD=a\sqrt{3},SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là
A. $V=3{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $V={{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& BC\bot SB\subset \left( SBC \right) \\
& BC\bot AB\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}$
Vậy $\widehat{SBA}=60{}^\circ $
Xét tam giác vuông $SAB\left( \widehat{A}=90{}^\circ \right)$ có:
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.a\sqrt{3}={{a}^{3}}$
A. $V=3{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $V={{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& BC\bot SB\subset \left( SBC \right) \\
& BC\bot AB\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}$
Vậy $\widehat{SBA}=60{}^\circ $
Xét tam giác vuông $SAB\left( \widehat{A}=90{}^\circ \right)$ có:
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.a\sqrt{3}={{a}^{3}}$
Đáp án C.