Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$, $Q$. Gọi ${M}'$, ${N}'$, ${P}'$, ${Q}'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$, $N$, $P$, $Q$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính tỉ số $\dfrac{SM}{SA}$ để thể tích khối đa diện $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Đặt $\dfrac{SM}{SA}=k$ với $k\in \left[ 0;1 \right]$.
Xét tam giác $SAB$ có $MN\text{//}AB$ nên $\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{SM}{SA}=k$ $\Rightarrow MN=k.AB$
Xét tam giác $SAD$ có $MQ\text{//}AD$ nên $\dfrac{MQ}{AD}=\dfrac{SM}{SA}=k$ $\Rightarrow MQ=k.AD$
Kẻ đường cao $SH$ của hình chóp. Xét tam giác $SAH$ có:
$M{M}'\text{//}SH$ nên $\dfrac{M{M}'}{SH}=\dfrac{AM}{SA}$ $=\dfrac{SA-SM}{SA}=1-\dfrac{SM}{SA}=1-k$ $\Rightarrow M{M}'=\left( 1-k \right).SH$.
Ta có ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=MN.MQ.M{M}'$ $=AB.AD.SH.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)$.
Mà ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.AB.AD$ $\Rightarrow {{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=3.{{V}_{S.ABCD}}.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)$.
Thể tích khối chóp không đổi nên ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}$ đạt giá trị lớn nhất khi ${{k}^{2}}.\left( 1-k \right)$ lớn nhất.
Ta có ${{k}^{2}}.\left( k-1 \right)=\dfrac{2\left( 1-k \right).k.k}{2}\le \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2-2k+k+k}{3} \right)}^{3}}$ $\Rightarrow {{k}^{2}}.\left( k-1 \right)\le \dfrac{4}{27}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $2\left( 1-k \right)=k$ $\Leftrightarrow k=\dfrac{2}{3}$.
Vậy $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{2}{3}$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Đặt $\dfrac{SM}{SA}=k$ với $k\in \left[ 0;1 \right]$.
Xét tam giác $SAB$ có $MN\text{//}AB$ nên $\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{SM}{SA}=k$ $\Rightarrow MN=k.AB$
Xét tam giác $SAD$ có $MQ\text{//}AD$ nên $\dfrac{MQ}{AD}=\dfrac{SM}{SA}=k$ $\Rightarrow MQ=k.AD$
Kẻ đường cao $SH$ của hình chóp. Xét tam giác $SAH$ có:
$M{M}'\text{//}SH$ nên $\dfrac{M{M}'}{SH}=\dfrac{AM}{SA}$ $=\dfrac{SA-SM}{SA}=1-\dfrac{SM}{SA}=1-k$ $\Rightarrow M{M}'=\left( 1-k \right).SH$.
Ta có ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=MN.MQ.M{M}'$ $=AB.AD.SH.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)$.
Mà ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.AB.AD$ $\Rightarrow {{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=3.{{V}_{S.ABCD}}.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)$.
Thể tích khối chóp không đổi nên ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}$ đạt giá trị lớn nhất khi ${{k}^{2}}.\left( 1-k \right)$ lớn nhất.
Ta có ${{k}^{2}}.\left( k-1 \right)=\dfrac{2\left( 1-k \right).k.k}{2}\le \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2-2k+k+k}{3} \right)}^{3}}$ $\Rightarrow {{k}^{2}}.\left( k-1 \right)\le \dfrac{4}{27}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $2\left( 1-k \right)=k$ $\Leftrightarrow k=\dfrac{2}{3}$.
Vậy $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.