Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C. Khoảng...

Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ASC \right).$
Kẻ $AH\bot SC\Rightarrow AH=a\sqrt{3}.$
Đặt $AC=x,SC=y\Rightarrow CH=\dfrac{{{x}^{2}}}{y}.$
${{V}_{S.ABC}}={{V}_{A.SBC}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta BCS}}$ đạt GTNN khi và chỉ khi ${{S}_{\Delta BCS}}=\dfrac{1}{2}xy$ đạt GTNN.
Do $BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot SA$ mà $SA\bot AB$ (theo giả thiết) nên $SA\bot \left( ABC \right).$
Suy ra $\Delta SAC$ vuông tại A.
Trong $\Delta AHC$ có
$A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}=A{{H}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow y=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3{{a}^{2}}}}\Rightarrow xy=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3{{a}^{2}}}}$
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3{{a}^{2}}}}\left( x>a\sqrt{3} \right).$
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3{{a}^{2}}}}-\dfrac{{{x}^{4}}}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-3{{a}^{2}}} \right)}^{3}}}\left( x>a\sqrt{3} \right);$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.$
Vậy $\min \left( xy \right)=\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ khi $AB=x\sqrt{2}=3a.$