Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{6}$ ; $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ $. Xác định độ dài cạnh $AB$ để khối chóp $S.ABC$ có thể tích nhỏ nhất.
A. $AB=3a\sqrt{2}$.
B. $AB=a\sqrt{3}$.
C. $AB=2a$.
D. $AB=3a$.
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow SD\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow SD\bot AB$. Mà $\widehat{SAB}=90{}^\circ \Rightarrow AB\bot SA$. Do đó $AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot AD$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $BC\bot CD$. Do đó $ABCD$ là hình vuông.
Trong mặt phẳng $\left( SDC \right)$, kẻ $DH\bot SC$ $\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right)$.
Vì $AD\text{ // }BC\Rightarrow AD\text{ // }\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=d\left( D,\left( SBC \right) \right)=DH=a\sqrt{6}$.
Gọi $AB=x$. Vì $CD>DH=a\sqrt{6}\Rightarrow x>a\sqrt{6}$. Xét tam giác vuông $SCD$ ta có
$\dfrac{1}{D{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow SD=\dfrac{ax\sqrt{6}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a{{x}^{3}}\sqrt{6}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$.
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}};\left( x>a\sqrt{6} \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}-\dfrac{x.{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}}{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{4}}-18{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}-6{{a}^{2}} \right).\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$.
Với ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-18{{a}^{2}}{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=3a$, ( vì $x>a\sqrt{6}$ ).
Bảng biến thiên
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ nhỏ nhất khi $AB=x=3a$.
A. $AB=3a\sqrt{2}$.
B. $AB=a\sqrt{3}$.
C. $AB=2a$.
D. $AB=3a$.
$\Rightarrow SD\bot AB$. Mà $\widehat{SAB}=90{}^\circ \Rightarrow AB\bot SA$. Do đó $AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot AD$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $BC\bot CD$. Do đó $ABCD$ là hình vuông.
Trong mặt phẳng $\left( SDC \right)$, kẻ $DH\bot SC$ $\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right)$.
Vì $AD\text{ // }BC\Rightarrow AD\text{ // }\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=d\left( D,\left( SBC \right) \right)=DH=a\sqrt{6}$.
Gọi $AB=x$. Vì $CD>DH=a\sqrt{6}\Rightarrow x>a\sqrt{6}$. Xét tam giác vuông $SCD$ ta có
$\dfrac{1}{D{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow SD=\dfrac{ax\sqrt{6}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a{{x}^{3}}\sqrt{6}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$.
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}};\left( x>a\sqrt{6} \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}-\dfrac{x.{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}}{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{4}}-18{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}-6{{a}^{2}} \right).\sqrt{{{x}^{2}}-6{{a}^{2}}}}$.
Với ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-18{{a}^{2}}{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=3a$, ( vì $x>a\sqrt{6}$ ).
Bảng biến thiên
Đáp án D.