Google
Câu hỏi: Cho khối chóp ${S.ABC}$ có đáy ${A B C}$ là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh ${S}$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm ${H}$ của cạnh ${A B}$. Biết ${S C= 3 a}$ và góc giữa hai mặt phẳng ${(S A C)}$ và ${(S B C)}$ bằng ${90^{\circ}}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. ${2 a^3}$.
B. ${\dfrac{1}{2} a^3}$.
C. ${4 a^3}$.
D. ${3 a^3}$.
Kẻ ${BK}$ vuông góc với ${SC}$, suy ra ${AK}$ cũng vuông góc với ${SC}$.
Suy ra $\left( SAC,SBC \right)=\left( AK,BK \right)=\widehat{AKB}=90{}^\circ $.
Đặt $AB=x\Rightarrow HK=\dfrac{x}{2}$.
Xét tam giác $SHC\Rightarrow HK.SC=SH.HC\Rightarrow \dfrac{x}{2}.3a=SH.x\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow SH=a\sqrt{3}\Rightarrow HC=\sqrt{9{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}=x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=2a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.8{{a}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{3}}$.
A. ${2 a^3}$.
B. ${\dfrac{1}{2} a^3}$.
C. ${4 a^3}$.
D. ${3 a^3}$.
Suy ra $\left( SAC,SBC \right)=\left( AK,BK \right)=\widehat{AKB}=90{}^\circ $.
Đặt $AB=x\Rightarrow HK=\dfrac{x}{2}$.
Xét tam giác $SHC\Rightarrow HK.SC=SH.HC\Rightarrow \dfrac{x}{2}.3a=SH.x\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow SH=a\sqrt{3}\Rightarrow HC=\sqrt{9{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}=x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=2a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.8{{a}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{3}}$.
Đáp án A.