Google
Câu hỏi: Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có $AC=6a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. $108\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $9\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $36\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $27\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Gọi $O=AC\cap BD$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$.
Do $AC=6a\Rightarrow AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=3a\sqrt{2}$. Đồng thời $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=d\parallel AB\parallel CD$
Dễ dàng chứng minh $SM\bot AB$ và $SN\bot CD$ (do $\Delta SAB,\Delta SCD$ cân tại $S$ ).
Suy ra $\widehat{\left[ \left( SAB \right),\left( SCD \right) \right]}=\widehat{\left( SM;SN \right)}={{60}^{0}}$.
Từ đó suy ra $\Delta SMN$ đều hay $SO=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}.{{\left( 3a\sqrt{2} \right)}^{2}}=9\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
A. $108\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $9\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $36\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $27\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Gọi $O=AC\cap BD$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$.
Do $AC=6a\Rightarrow AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=3a\sqrt{2}$. Đồng thời $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=d\parallel AB\parallel CD$
Dễ dàng chứng minh $SM\bot AB$ và $SN\bot CD$ (do $\Delta SAB,\Delta SCD$ cân tại $S$ ).
Suy ra $\widehat{\left[ \left( SAB \right),\left( SCD \right) \right]}=\widehat{\left( SM;SN \right)}={{60}^{0}}$.
Từ đó suy ra $\Delta SMN$ đều hay $SO=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}.{{\left( 3a\sqrt{2} \right)}^{2}}=9\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.