Google
Câu hỏi: Cho khối chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy là $a$, mặt bên tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Do $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AM\bot BC$.
Lại có $\Delta SBC$ là tam giác cân tại $S$ do $S.ABC$ là chóp đều $\Rightarrow BC\bot SM$.
Vậy $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SM;AM \right)}$.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Do $S.ABC$ là chóp đều $\Rightarrow SG\bot \left( ABC \right)$.
Ta có: $\tan \measuredangle SMG=\dfrac{SG}{GM}\Leftrightarrow \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SG}{GM}$.
$\Rightarrow SG=GM\sqrt{3}=\dfrac{AM\sqrt{3}}{3}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Lại có $\Delta SBC$ là tam giác cân tại $S$ do $S.ABC$ là chóp đều $\Rightarrow BC\bot SM$.
Vậy $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SM;AM \right)}$.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Do $S.ABC$ là chóp đều $\Rightarrow SG\bot \left( ABC \right)$.
Ta có: $\tan \measuredangle SMG=\dfrac{SG}{GM}\Leftrightarrow \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SG}{GM}$.
$\Rightarrow SG=GM\sqrt{3}=\dfrac{AM\sqrt{3}}{3}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Đáp án A.