Google
Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuôc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là
A. $V=\dfrac{6}{7}\pi {{a}^{3}}.$
B. $V=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}.$
C. $V=\dfrac{3}{2}\pi {{a}^{3}}.$
D. $V=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}.$
Gọi P là hình chiếu của N xuống BK
Khi quay tứ giác ANPB quanh trục BC ta được khối trụ có thể tích
${{V}_{1}}=\pi A{{B}^{2}}.BP=\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\pi }{3}.$
Lại có $BP=\dfrac{2}{3}a;NP=a$ suy ra $PK=\dfrac{N{{P}^{2}}}{BP}=\dfrac{3\text{a}}{2}$
Khi quay tam giác NKP quanh trục BC ta được khối nón có thể tích
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .N{{P}^{2}}.KP=\dfrac{{{a}^{3}}\pi }{2}.$ Do đó $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}.$
A. $V=\dfrac{6}{7}\pi {{a}^{3}}.$
B. $V=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}.$
C. $V=\dfrac{3}{2}\pi {{a}^{3}}.$
D. $V=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}.$
Gọi P là hình chiếu của N xuống BK
Khi quay tứ giác ANPB quanh trục BC ta được khối trụ có thể tích
${{V}_{1}}=\pi A{{B}^{2}}.BP=\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\pi }{3}.$
Lại có $BP=\dfrac{2}{3}a;NP=a$ suy ra $PK=\dfrac{N{{P}^{2}}}{BP}=\dfrac{3\text{a}}{2}$
Khi quay tam giác NKP quanh trục BC ta được khối nón có thể tích
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .N{{P}^{2}}.KP=\dfrac{{{a}^{3}}\pi }{2}.$ Do đó $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án B.