Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện ABCD có $AD\bot \left( ABC \right)$, ABC là tam giác vuông tại B. Biết $BC=a$, $AB=a\sqrt{3}$, $AD=3a$. Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{16}$
D. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{16}$
A. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{16}$
D. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{16}$
Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính $AE=3a$. Gọi $I=AC\cap BE, IH\bot AB$ tại H. Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH.
Ta có ΔIBC đồng dạng với ΔIEA $\Rightarrow \dfrac{IC}{IA}=\dfrac{BC}{AE}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow IA=3IC$.
Mặt khác $IH\text{ // BC}\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{IH}{BC}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow IH=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a}{4}$.
Gọi ${{V}_{1}}, {{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{H}^{2}}.AH; {{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{H}^{2}}.BH$.
$\Rightarrow V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}\Rightarrow V=\dfrac{\pi }{3}.I{{H}^{2}}.AB\Rightarrow V=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}}{16}.a\sqrt{3}\Rightarrow V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Mặt khác $IH\text{ // BC}\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{IH}{BC}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow IH=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a}{4}$.
Gọi ${{V}_{1}}, {{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{H}^{2}}.AH; {{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{H}^{2}}.BH$.
$\Rightarrow V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}\Rightarrow V=\dfrac{\pi }{3}.I{{H}^{2}}.AB\Rightarrow V=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}}{16}.a\sqrt{3}\Rightarrow V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Đáp án A.