Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là O và ${O}'$ ; bán kính đáy hình trụ bằng a. Trên hai đường tròn (O) và ( ${O}'$ ) lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB tạo với trục của hình trụ một góc $30{}^\circ $ và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A. $2\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{3}+1 \right).$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{3}\left( \sqrt{3}+2 \right).$
C. $\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{3}+2 \right).$
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{2}}}{3}\left( \sqrt{3}+3 \right).$
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của A trên $\left( {{O}'} \right);{B}'$ là hình chiếu của B trên (O).
Khi đó $O{O}'//A{A}'$ nên $\widehat{\left( AB,O{O}' \right)}=\widehat{\left( AB,A{A}' \right)}=\widehat{BA{A}'}=30{}^\circ $
(do $\Delta AB{A}'$ vuông tại B).
Gọi I là trung điểm ${A}'B$.
Do $O{O}'//\left( A{A}'B{B}' \right)$ nên
$d\left( O{O}',AB \right)=d\left( O{O}',\left( A{A}'B{B}' \right) \right)=d\left( {O}',\left( A{A}'B{B}' \right) \right)={O}'I=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có ${A}'B=2BI=2\sqrt{{O}'{{B}^{2}}-{O}'{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=a$.
$O{O}'=A{A}'={A}'B.\cot 30{}^\circ =a\sqrt{3}$
Diện tích toàn phần: ${{S}_{tp}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi a.a\sqrt{3}+2\pi {{a}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{3}+1 \right)$.
A. $2\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{3}+1 \right).$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{3}\left( \sqrt{3}+2 \right).$
C. $\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{3}+2 \right).$
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{2}}}{3}\left( \sqrt{3}+3 \right).$
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của A trên $\left( {{O}'} \right);{B}'$ là hình chiếu của B trên (O).
Khi đó $O{O}'//A{A}'$ nên $\widehat{\left( AB,O{O}' \right)}=\widehat{\left( AB,A{A}' \right)}=\widehat{BA{A}'}=30{}^\circ $
(do $\Delta AB{A}'$ vuông tại B).
Gọi I là trung điểm ${A}'B$.
Do $O{O}'//\left( A{A}'B{B}' \right)$ nên
$d\left( O{O}',AB \right)=d\left( O{O}',\left( A{A}'B{B}' \right) \right)=d\left( {O}',\left( A{A}'B{B}' \right) \right)={O}'I=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có ${A}'B=2BI=2\sqrt{{O}'{{B}^{2}}-{O}'{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=a$.
$O{O}'=A{A}'={A}'B.\cot 30{}^\circ =a\sqrt{3}$
Diện tích toàn phần: ${{S}_{tp}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi a.a\sqrt{3}+2\pi {{a}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{3}+1 \right)$.
Đáp án A.