Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có $O, {O}'$ là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật $ABCD$ có $A, B$ cùng thuộc $\left( O \right)$ và $C, D$ cùng thuộc $\left( {{O}'} \right)$ sao cho $AB=a\sqrt{3}$, $BC=2a$ đồng thời $\left( ABCD \right)$ tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc $60{}^\circ $. Khoảng cách từ điểm ${O}'$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a}{2}$.
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $CD, AB$ và $I$ là trung điểm của $O{O}'$.
Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{IM{O}'}=60{}^\circ $.
Ta có $IM=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}BC=a$.
Xét $\Delta I{O}'M$ vuông tại $O$, ta có ${O}'M=IM.\cos \widehat{IM{O}'}=\dfrac{a}{2}$.
Khoảng cách từ điểm ${O}'$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $d\left( O',\left( ABCD \right) \right)=O'M.\sin \widehat{IM{O}'}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a$.
Vậy khoảng cách từ điểm ${O}'$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a}{2}$.
Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{IM{O}'}=60{}^\circ $.
Ta có $IM=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}BC=a$.
Xét $\Delta I{O}'M$ vuông tại $O$, ta có ${O}'M=IM.\cos \widehat{IM{O}'}=\dfrac{a}{2}$.
Khoảng cách từ điểm ${O}'$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $d\left( O',\left( ABCD \right) \right)=O'M.\sin \widehat{IM{O}'}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a$.
Vậy khoảng cách từ điểm ${O}'$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.